Question

2．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．已知（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sin（A+B），试判断该三角形的形状．

Answer 1

分析 利用两角和与差的三角函数以及正弦定理，推出$\frac{1}{2}sin2A=\frac{1}{2}sin2B$，求出A与B的关系，得到三角形的形状．

解答 解：∵（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sin（A+B），
∴（a²+b²）（sinAcosB-cosAsinB）=（a²-b²）（sinAcosB+cosAsinB），
即sinAcosB（a²+b²-a²+b²）=cosAsinB（a²-b²+a²+b²）．
即sinAcosB（2b²）=cosAsinB（2a²）．
sinAcosBsin²B=cosAsinBsin²A．
sinAcosB（sinBcosB-sinAcosA）=0．
$\frac{1}{2}sin2A=\frac{1}{2}sin2B$，
A=B或2A+2B=180°，
故三角形是等腰三角形或直角三角形．

点评 本题考查三角形的形状的判断，两角和与差的三角函数的应用，正弦定理的应用，考查计算能力．