Question

7．已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d的图象过点P（0，2），且在点M（-1，f（-1））处的切线方程为6x-y+7=0．
（1）求f（-1）和f′（-1）的值；
（2）求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用切线方程得到斜率，求出点的坐标即可．
（2）利用点的坐标切线的斜率，曲线经过的点列出方程组求法即可．

解答 解：（1）∵f（x）在点M（-1，f（-1））处的切线方程为6x-y+7=0．
故点（-1，f（-1））在切线6x-y+7=0上，且切线斜率为6．
得f（-1）=1且f′（-1）=6．
（2）∵f（x）过点P（0，2）
∴d=2
∵f（x）=x³+bx²+cx+d
∴f′（x）=3x²+2bx+c
由f′（-1）=6得3-2b+c=6
又由f（-1）=1，得-1+b-c+d=1
联立方程$\left\{\begin{array}{l}d=2\\ 3-2b+c=6\\ 1=-1+b-c+d\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}b=-3\\ c=-3\\ d=2\end{array}\right.$
故f（x）=x³-3x²-3x+2

点评 本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的解析式的求法，考查计算能力．