Question

18．在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知$\frac{cosA-\sqrt{3}cosC}{cosB}=\frac{\sqrt{3}c-a}{b}$．
（1）求$\frac{c}{a}$的值．
（2）若△ABC的面积为$\sqrt{2}$，cosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求b的值．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{cosA-\sqrt{3}cosC}{cosB}=\frac{\sqrt{3}c-a}{b}$，利用正弦定理可得：$\frac{cosA-\sqrt{3}cosC}{cosB}$=$\frac{\sqrt{3}sinC-sinA}{sinB}$，化简可得sinC=$\sqrt{3}$sinA，再利用正弦定理即可得出．
（2）由cosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得sinB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．利用S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\sqrt{2}$，可得ac=2$\sqrt{3}$，与$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，联立解得即可．

解答 解：（1）∵$\frac{cosA-\sqrt{3}cosC}{cosB}=\frac{\sqrt{3}c-a}{b}$，
由正弦定理可得：$\frac{cosA-\sqrt{3}cosC}{cosB}$=$\frac{\sqrt{3}sinC-sinA}{sinB}$，
化为sin（A+B）=$\sqrt{3}$sin（B+C），
∴sinC=$\sqrt{3}$sinA，
由正弦定理可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{sinC}{sinA}$=$\sqrt{3}$．
（2）∵cosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴sinB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}ac×\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\sqrt{2}$，∴ac=2$\sqrt{3}$．
又$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，联立解得c=$\sqrt{6}$，a=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正弦定理的应用、和差公式、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．