Question

【题目】如图，某商业中心O有通往正东方向和北偏东30方向的两条街道，某公园P位于商业中心北偏东角（），且与商业中心O的距离为公里处，现要经过公园P修一条直路分别与两条街道交汇于A，B两处。

（1）当AB沿正北方向时，试求商业中心到A，B两处的距离和；

（2）若要使商业中心O到A，B两处的距离和最短，请确定A，B的最佳位置。

Answer 1

【答案】（1）13.5km．（2）商业中心到A、B两处的距离和最短为9km，此时OA=6km，OB=3km

【解析】试题分析：（1）建立直角坐标系表示图中各量关系是解题关键： ，OB=2OA=9，商业中心到A、B两处的距离和为13.5km．（2）当AB与轴不垂直时，设AB： ，则,又直线OB的方程为，所以， ，从而，其中，或．利用导数可得当时， 有极小值也是最小值为9km；此时OA=6km，OB=3km，

试题解析：

（1）以O为原点，OA所在直线为轴建立坐标系．设，

∵， ∴， ，

则， ， 4分

依题意，AB⊥OA，则OA=，OB=2OA=9，商业中心到A、B两处的距离和为13.5km． 7分

（2）

方法1：当AB与轴不垂直时，设AB： ，①

令，得；由题意，直线OB的方程为，②

解①②联立的方程组，得，∴，

∴，由， ，得，或． 11分

，令，得，

当时， ， 是减函数；当时， ， 是增函数，

∴当时， 有极小值为9km；当时， ， 是减函数，结合（1）知km．

综上所述，商业中心到A、B两处的距离和最短为9km，此时OA=6km，OB=3km，

方法2：如图，过P作PM//OA交OB于M，PN//OB交OA于N，设∠BAO= ，

△OPN中，得PN=1，ON=4=PM，

△PNA中∠NPA=120°- ∴得

同理在△PMB中， ，得，

， 13分

当且仅当即即时取等号．

方法3：若设点，则AB： ，得，

∴， 13分

当且仅当即时取等号．

方法4：设，AB： ，得，

， 13分

当且仅当即时取等号．

答：A选地址离商业中心6km，B离商业中心3km为最佳位置． 15分