Question

已知向量

m

=（sin2x，2cosx），

n

=(

3

，cosx)(x∈R)，函数f（x）=

m

•

n

-1．
（I）求f（x）的周期；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=1，b=1，△ABC的面积为

3

2

，求边a的值．

Answer 1

分析：（I）由数量积的运算和三角函数的公式可得f（x）=2sin（2x+

π

6

），可得周期；
（II）由（I）结合条件可得A=

π

3

，由面积可得c=2，代入余弦定理可得a值．

解答：解：（I）由题意可得f（x）=

m

•

n

-1=(sin2x，2cosx)•(

3

，cosx)-1
=

3

sin2x+2cos²x-1=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），
所以函数f（x）的最小正周期为T=π；
（II）由（I）可知：若f（A）=2sin（2A+

π

6

）=1，即sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
可得2A+

π

6

=

5π

6

，∴A=

π

3

，又S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

c=

3

2

，∴c=2，
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA=1+4-4×

1

2

=3，
∴a=

3

点评：本题考查三角函数的运算涉及平面向量的数量积和余弦定理，属中档题．