(本小题满分16分)
如图,椭圆(a>b>0)的上、下两个顶点为A、B,直线l:
,点P是椭圆上异于点A、B的任意一点,连接AP并延长交直线l于点N,连接PB并延长交直线l于点M,设AP所在的直线的斜率为
,BP所在的直线的斜率为
.若椭圆的离心率为
,且过点
.
(1)求的值;
(2)求MN的最小值;
(3)随着点P的变化,以MN为直径的圆是否恒过定点,
若过定点,求出该定点,如不过定点,请说明理由.
(1).
(2)当且仅当时,
取得最小值
.(3)
.
【解析】本试题主要考查了椭圆方程的求解,以及直线斜率公式的运算和圆的方程的求解的综合运用。
(1)1)因为,
,解得
,
所以椭圆的标准方程为
并且设椭圆上点
,有
,
所以
(2)因为在直线l:
上,所以设
,
,由方程
知,
,所以
,又由(1)知
,所以
不妨设,则
,则
,
运用不等式的思想得到最值。
(3)设,
,
则以为直径的圆的方程为
即,圆过定点,必与
无关,
所以有,解得定点坐标为
,
所以,无论点P如何变化,以MN为直径的圆恒过定点以函数
在实数集
上有最小值时,实数
的取值范围为
(1)因为,
,解得
,
所以椭圆的标准方程为
.……………2分
设椭圆上点,有
,
所以.…………4分
(2)因为在直线l:
上,所以设
,
,由方程
知,
,
所以,……………………………………………………6分
又由(1)知,所以
,…………………………………………8分
不妨设,则
,则
,
所以当且仅当时,
取得最小值
.…………………………………………10分
(3)设,
,
则以为直径的圆的方程为
……………………………………12分
即,圆过定点,必与
无关,
所以有,解得定点坐标为
,
所以,无论点P如何变化,以MN为直径的圆恒过定点.………………………16分
以函数在实数集
上有最小值时,实数
的取值范围为
.……………16分
科目:高中数学 来源: 题型:
(2010江苏卷)18、(本小题满分16分)
在平面直角坐标系
中,如图,已知椭圆
的左、右顶点为A、B,右焦点为F。设过点T(
)的直线TA、TB与椭圆分别交于点M
、
,其中m>0,
。
(1)设动点P满足,求点P的轨迹;
(2)设,求点T的坐标;
(3)设,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)。
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科目:高中数学 来源:2010年泰州中学高一下学期期末测试数学 题型:解答题
(本小题满分16分)
函数,
(
),
A=
(Ⅰ)求集合A;
(Ⅱ)如果,对任意
时,
恒成立,求实数
的范围;
(Ⅲ)如果,当“
对任意
恒成立”与“
在
内必有解”同时成立时,求
的最大值.
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科目:高中数学 来源:2014届江苏大丰新丰中学高二上期中考试文数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分16分) 本题请注意换算单位
某开发商用9000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼,规划要求写字楼每层建筑面积为2000平方米。已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4000元,从第二层开始,每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元。
(1)若该写字楼共x层,总开发费用为y万元,求函数y=f(x)的表达式;
(总开发费用=总建筑费用+购地费用)
(2)要使整幢写字楼每平方米开发费用最低,该写字楼应建为多少层?
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科目:高中数学 来源:2013届安徽省蚌埠市高二下学期期中联考文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分16分)设命题:方程
无实数根;
命题
:函数
的值域是
.如果命题
为真命题,
为假命题,求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2010年江苏省高一第三阶段检测数学卷 题型:解答题
(本小题满分16分)
已知函数f(x)=为偶函数,且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为
(Ⅰ)求f()的值;
(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标延长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)的单调递减区间.
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