Question

如图一所示，边长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为AB、DD₁的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面BCD₁；
（Ⅱ）若G为B₁C₁的中点，证明：A₁G⊥EF；
（Ⅲ）如图二所示为一几何体的展开图，沿着图中虚线将它们折叠起来，所得几何体的体积为V₁，若正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为V₂，求

V1

V2

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取CD₁的中点H，连接FH，HB，证明EF∥HB，利用线面平行的判定，可得EF∥平面BCD₁；
（Ⅱ）取BC中点I，连接GI，AI，证明AI⊥EF由四边形A₁AIG为平行四边形得A₁G∥AI，即可得到结论；
（Ⅲ）分别计算体积，即可得到结论．

解答：（Ⅰ）证明：取CD₁的中点H，连接FH，HB，
∵F、H分别是DD₁、CD₁的中点，
∴FH∥DC且FH=

1

2

DC，
∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥DC且AB=DC，
又E为AB的中点，∴FH∥EB且FH=EB，
∴四边形FHBE为平行四边形，∴EF∥HB，
又∵HB?平面BCD₁，EF?平面BCD₁，
∴EF∥平面BCD₁；
（Ⅱ）证明：取BC中点I，连接GI，AI，
在正方形ABCD中，E，I分别为AB，BC的中点，
∴DE⊥AI，
∵DD₁⊥平面ABCD，AI?平面ABCD，
∴AI⊥DF，
又DF∩DE=D，
∴AI⊥平面DEF，又EF?平面DEF，
∴AI⊥EF
由四边形A₁AIG为平行四边形得A₁G∥AI，
∴A₁G⊥EF；
（Ⅲ）解：如图二所示，该几何体为有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱锥，即四棱锥的高为1，底面是边长为1的正方形，
∴V_四棱锥=

1

3

×1×1×1=

1

3

，
又VABCD-A1B1C1D1=1，
∴

V1

V2

=

1

3

．

点评：本题考查线面平行，考查垂直，考查体积的计算，属于中档题．