【题目】太极图被称为“中华第一图”．广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极鱼”．已知
或
，下列命题中：①
在平面直角坐标系中表示的区域的面积为
；②
，使得
；③
，都有
成立；④设点
，则
的取值范围是
．其中真命题的个数为（ ）
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【解析】
集合A表示的图形，分别分析选项，得到正确答案，
①根据图象，直接求判断集合A的面积是圆面积的一半；
②转化为两圆是否相交问题；
③设
，
，表示斜率为
的直线，
表示纵截距，转化为线性规划问题；
④变形为
，先求
的范围，最后求
的范围.
①如图，根据对称性可知，集合
表示的面积占圆面积的一半，
，故①不正确；
②
，整理为
，以
为圆心，
的圆，与
的圆的圆心距
，可知两圆相交，有2个交点，所以
，使得，故②正确；
③设，，表示斜率为的直线，表示纵截距，如图，当直线与圆相切时，取得最大值，此时圆心到直线的距离
，解得
或
，如图，舍去，所以
的最大值是
，如图，当直线与
相切时，取得最小值，圆心到直线的距离
，
，如图舍去
，所以的最小值是
，所以
，都有
成立，③正确；
④，
设表示可行域内的点与点
连线的斜率，
设
，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离
，解得
，如图可知
，
当直线过点
时，斜率
，其他满足条件的直线夹在这两直线之间，所以
，
，
，故④不正确.
故只有②③正确.
故选：B
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【题目】已知椭圆
：
，长半轴长与短半轴长的差为
，离心率为
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若在
轴上存在点
，过点的直线
分别与椭圆相交于
、
两点，且
为定值，求点的坐标．
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【题目】某避暑山庄拟对一个半径为1百米的圆形地块（如图）进行改造，拟在该地块上修建一个等腰梯形
，其中
，
，圆心
在梯形内部，设
.当该游泳池的面积与周长之比最大时为“最佳游泳池”.
（1）求梯形游泳池的面积
关于
的函数关系式，并指明定义域；
（2）求当该游泳池为“最佳游泳池”时
的值.
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【题目】某公司租用一个门店作展馆，准备对其公司生产的某型产品进行为期一年的展出。为此，需对门店进行装修，展出结束，门店不再使用，现市面上有某品牌的
型和
型两种节能灯，假定型节能灯使用寿命都超过
小时，经销商对型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如下频率分布直方图：
门店装修时，需安装该品牌节能灯
支（同种型号）.经了解，型
瓦和B型
瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装。已知型和型节能灯每支的价格分别为
元、
元，当地商业电价为
元/千瓦时。假定该店面一年周转期的照明时间为
小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯管更换。（用频率估计概率）
（1）根据频率直方图估算B型节能灯的平均使用寿命；
（2）根据统计知识，若一支灯管一年内需要更换的概率为
，那么支灯管一年内估计需要更换
支.若该商家新店面全部安装型节能灯，试估计一年内需更换的支数；
（3）若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由.
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【题目】2018年的政府工作报告强调，要树立绿水青山就是金山银山理念，以前所未有的决心和力度加强生态环境保护.某地科技园积极检查督导园区内企业的环保落实情况，并计划采取激励措施引导企业主动落实环保措施，下图给出的是甲、乙两企业2012年至2017年在环保方面投入金额（单位：万元）的柱状图.
（Ⅰ）分别求出甲、乙两企业这六年在环保方面投入金额的平均数；（结果保留整数）
（Ⅱ）园区管委会为尽快落实环保措施，计划对企业进行一定的奖励，提出了如下方案：若企业一年的环保投入金额不超过200万元，则该年不奖励；若企业一年的环保投入金额超过200万元，不超过300万元，则该年奖励20万元；若企业一年的环保投入金额超过300万元，则该年奖励50万元.
（ⅰ）分别求出甲、乙两企业这六年获得的奖励之和；
（ⅱ）现从甲企业这六年中任取两年对其环保情况作进一步调查，求这两年获得的奖励之和不低于70万元的概率.
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【题目】2018年的政府工作报告强调，要树立绿水青山就是金山银山理念，以前所未有的决心和力度加强生态环境保护.某地科技园积极检查督导园区内企业的环保落实情况，并计划采取激励措施引导企业主动落实环保措施，下图给出的是甲、乙两企业2012年至2017年在环保方面投入金额（单位：万元）的柱状图.
（Ⅰ）分别求出甲、乙两企业这六年在环保方面投入金额的平均数；（结果保留整数）
（Ⅱ）园区管委会为尽快落实环保措施，计划对企业进行一定的奖励，提出了如下方案：若企业一年的环保投入金额不超过200万元，则该年不奖励；若企业一年的环保投入金额超过200万元，不超过300万元，则该年奖励20万元；若企业一年的环保投入金额超过300万元，则该年奖励50万元.
（ⅰ）分别求出甲、乙两企业这六年获得的奖励之和；
（ⅱ）现从甲企业这六年中任取两年对其环保情况作进一步调查，求这两年获得的奖励之和不低于70万元的概率.
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【题目】已知椭圆
: 
的长轴长为4，左、右顶点分别为
，经过点
的直线与椭圆相交于不同的两点
（不与点重合）.
（Ⅰ）当
，且直线
轴时， 求四边形
的面积；
（Ⅱ）设
，直线
与直线
相交于点
，求证：
三点共线.
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【题目】将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD成60°的角；
④AB与CD所成的角是60°.
其中正确结论的序号是________
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