Question

4．已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且C=$\frac{π}{3}$，AC=4，△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，三棱锥O-ABC的体积为$\frac{\sqrt{6}}{6}$，则球O的表面积为$\frac{33π}{2}$．

Answer 1

分析 由已知条件利用正弦定理得BC=2，利用余弦定理得AB=2$\sqrt{3}$，△ABC的外接圆O′的半径r=2，由三棱锥的体积得到球心O到平面ABC的距离OO′=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，由此求出球半径，从而能求出球的表面积．

解答 解：∵△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且C=$\frac{π}{3}$，AC=4，△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}×4×BC×sin\frac{π}{3}=2\sqrt{3}$，解得BC=2，
∴AB=$\sqrt{16+4-2×4×2×cos\frac{π}{3}}$=2$\sqrt{3}$，
∴AB²+BC²=AC²，
∴△ABC的外接圆O′的半径r=$\frac{1}{2}AC$=2，
∵△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，三棱锥O-ABC的体积为$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴球心O到平面ABC的距离OO′=$\frac{\sqrt{6}}{6}×\frac{3}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴球半径R=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{4}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{33}{8}}$，
∴球的表面积S=4πR²=4π×$\frac{33}{8}$=$\frac{33π}{2}$．
故答案为：$\frac{33π}{2}$．

点评 本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理、球和三棱锥的性质的合理运用．