Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（xy）=f（x）f（y）（x，y∈R），且当x≠0时，f（x）≠0．
（Ⅰ）求证：f（0）=0；　　
（Ⅱ）证明：f（x）是偶函数，并求f（x）的表达式；
（III） 若f（x）+a＞ax对任意x∈（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，令x=y=0，
∴f（0）=2f（0）
∴f（0）=0；
（Ⅱ）令x=y=1代入f（xy）=f（x）f（y）∴f（1）=f（1）²，
∵当x≠0时，f（x）≠0，
∴f（1）=1，
令y=x代入f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（xy）=f（x）f（y） （x，y∈R），
f（2x）=2f（x）+2x²，f（2x）=f（2）f（x），
∴f（2）f（x）=2f（x）+2x²，
∵f（2）=2f（1）+2=4，
∴f（x）=x²，f（-x）=f（x）
∴f（x）为偶函数．
（III）∵f（x）=x²，
∴由f（x）+a＞ax，得x²-ax+a＞0，
∴f（x）+a＞ax对任意x∈（1，+∞）恒成立，
等价于x²-ax+a＞0对任意x∈（1，+∞）恒成立，
∵y=x²-ax+a的图象开口向上，对称轴方程是x=，
∴，解得a≤2．
∴实数a的取值范围是（-∞，2]．
分析：（Ⅰ）令x=y=0代入f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，即可求解；
（Ⅱ）求出f（x）的表达式再判断奇偶性，由f（xy）=f（x）f（y），令x=y=1，得f（1）=1，再令y=x，代入f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，求出f（x），即可求解．
（III）由f（x）=x²，f（x）+a＞ax，得x²-ax+a＞0，f（x）+a＞ax对任意x∈（1，+∞）恒成立，等价于x²-ax+a＞0对任意x∈（1，+∞）恒成立，由此能求出实数a的取值范围．
点评：本题考查偶函数的证明和函数表达式的求法，考查等价转化思想的合理运用．解题时要认真审题，注意函数性质的灵活运用．