Question

已知函数f(x)＝ax²＋bx＋c(a≠0)，且f(x)＝x无实根，下列命题中：

    （1）方程f [f (x)]＝x一定无实根；

    （2）若a＞0，则不等式f [f (x)]＞x对一切实数x都成立；

    （3）若a＜0，则必存在实数x₀，使f [f (x₀)]＞x₀；

    （4）若a＋b＋c＝0，则不等式f [f (x)]＜x对一切x都成立；

    正确的序号有          ．

Answer 1

（1）（2）（4） 【解析】本题是关于以二次函数为基础的复合函数问题，由条件可知二次函数图象与直线无交点：（1）显然正确；在a＞0的情况下，函数f(x)是开口向上的抛物线，与直线y＝x没有交点情况下恒有f [ f(x)]＞x，对一切实数成立是正确的，即（2）也正确；  由前分析知（3）显然错误；由a＋b＋c＝0可知两个同号，另一个与他们异号，又由f(x)＝x无实根可得：4ac＞(b－1)²，从而有a，c同号，所以（4）正确．本题考查函数的根的问题与构成的不等式问题，对这种问题数形结合分析有助于理解，考题中此类型题属于难题，近来高考题中出现得越来越少了．