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精英家教网如图,直角梯形ABCD中,∠DAB=90°,AD∥BC,AB=2,AD=
3
2
,BC=
1
2
椭圆F以A、B为焦点且过点D.
(I)建立适当的直角坐标系,求椭圆的方程;
(Ⅱ)若点E满足
EC
=
1
2
AB
,是否存在斜率k≠0的直线l与椭圆F交于MN两点,且|ME|=|NE|,若存在,求K的取值范围;若不存在,说明理由.
分析:(I)以AB中点为原点O,AB所在直线为x轴,建立直角坐标系,设出椭圆的方程,根据点D在椭圆上,以及c=1,求出 a、b值,即得椭圆F的方程.
(Ⅱ)点斜式设出直线方程代入椭圆的方程,则可得判别式大于0,即4k2-m2+3>0.由PE⊥MN,斜率之积等于-1,求得m、k间的关系,代入4k2-m2+3>0 可解得k取值范围.
解答:精英家教网解:(I)以AB中点为原点O,AB所在直线为x轴,建立直角坐标系,如图
则A(-1,0),B(1,0),D(-1,
3
2
)

设椭圆F的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)

(-1)2
a2
+
(
3
2
)
2
b2
=1
a2=b2+1
 得4a4-17a2+4=0,∵a2>1,
∴a2=4,b2=3. 所求椭圆F方程
x2
4
+
y2
3
=1

(Ⅱ)由
EC
=
1
2
AB
E(0,
1
2
)

显然l⊥AB时不合条件,设l方程y=kx+m(k≠0)代入
x2
4
+
y2
3
=1
,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.
l与椭圆F有两不同公共点的充要条件是△=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,即4k2-m2+3>0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),中点为P(x0,y0),|ME|=|NE|等价于PE⊥MN,
2x0=x1+x2=
-8km
3+4k2
,∴x0=-
4km
3+4k2
y0=kx0+m=
6m
3+4k2

PE⊥MN,得
y0-
1
2
x0
=-
1
k
,得
6m
3+4k2
-
1
2
-4km
3+4k2
=-
1
k
,得m=-
3+4k2
2

代入△>0得 4k2+3-(
4k2+3
2
)2>0
,∵0<4k2+3<4 得 k2
1
4

又∵k≠0,故k取值范围为k∈(-
1
2
,0)∪(0,
1
2
)
点评:本题考查椭圆的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系,体现了数形结合的思想,式子的化简变形是解题的易错点.
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12
.梯形ABCD所在平面外有一点P,满足PA⊥平面ABCD,PA=AB.
(1)求证:平面PCD⊥平面PAC;
(2)侧棱PA上是否存在点E,使得BE∥平面PCD?若存在,指出点E的位置并证明;若不存在,请说明理由.
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