Question

已知函数f（x）=|x-2012|+…+|x-2|+|x-1|+|x+1|+|x+2|+…+|x+2012|（x∈R），且f（a²+2a+2）＞f（a），则满足条件的实数a的取值范围是

a＜-2或a＞-1

．

Answer 1

分析：由已知中函数的解析式，可以分析出函数f（x）=|x-2012|+…+|x-2|+|x-1|+|x+1|+|x+2|+…+|x+2012|（x∈R）的奇偶性和单调性，进而可将不等式f（a²+2a+2）＞f（a）转化为|a²+2a+2|＞|a|，由a²+2a+2＞0恒成立，故原不等式可进一步转化为a²+2a+2＞|a|，根据绝对值不等式“大于看两边，小于看中间”的原则，可得-（a²+2a+2）＜a＜a²+2a+2，解得满足条件的实数a的取值范围．

解答：解：∵当x＜a时，|x-a|=-x+a，当x＞a时，|x-a|=x-a
∴当a＜-1时，函数f（x）的解析式中一次项系数为负（去绝对值时x的系数为-1的式子个数多于系数为1的）
同理-1≤a≤1时，函数f（x）的解析式中一次项系数为0，（此时函数为常数函数）
当a＞1时，函数f（x）的解析式中一次项系数为正，
故函数f（x）=|x-2012|+…+|x-2|+|x-1|+|x+1|+|x+2|+…+|x+2012|在（-∞，-1]上递减，在[-1，1]上不具单调性，在[1，+∞）上递增
又∵f（-x）=|-x-2012|+…+|-x-2|+|-x-1|+|-x+1|+|-x+2|+…+|-x+2012|=|x+2012|+…+|x+2|+|x+1|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2012|=f（x）
故函数f（x）为偶函数
若f（a²+2a+2）＞f（a），
则|a²+2a+2|＞|a|
即a²+2a+2＞|a|
即-（a²+2a+2）＜a＜a²+2a+2
解得a＜-2或a＞-1
故答案为：a＜-2或a＞-1

点评：本题考查的知识点是函数的单调性和奇偶性，绝对值不等式的解法，其中根据函数的单调性和奇偶性，将原不等式转化为|a²+2a+2|＞|a|是解答的关键．