Question

5．已知f（x）=x²+2mx+（2m+1）．
（1）若f（x）=0得两根分别为某三角形两内角的正弦值，求m的取值范围；
（2）问是否存在实数m，使得f（x）=0的两根是直角三角形两个锐角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）通过f（x）=0的两根分别为某三角形两内角的正弦值，利用二次函数根的分布列出关系式，求k的取值范围；
（2）假设存在实数k，使得f（x）=0的两根是直角三角形两个锐角的正弦值．然后利用利用韦达定理求出k的值，然后判断即可．

解答 解：（1）设两根为x₁，x₂．f（x）=x²+2mx+（2m+1）．
f（x）=0的两根分别为某三角形两内角的正弦值，
则要满足$\left\{\begin{array}{l}{4{m}^{2}-4（2m+1）≥0}\\{2m+1＞0}\\{1+2m+2m+1＞0}\\{0＜-m＜1}\end{array}\right.$，解得：-$\frac{1}{2}$＜m≤1-$\sqrt{2}$；
（2）假设存在实数k，使得f（x）=0的两根是直角三角形两个锐角A、B的正弦值，
则A+B=90°，sinA=cosB，
∵sin²A+cos²A=1，
∴x₁²+x₂²=1，
∵x₁+x₂=-m，x₁x₂=2m+1
∴m²-2（2m+1）=1
∴m=1或3，
当m=1时，原方程为：x²+2x+3=0，△＜0，不合题意．
当m=3时，原方程为：x²+6x+7=0，x₁+x₂＜0，不合题意．
综上，不存在实数k，使得f（x）=0的两根是直角三角形两个锐角的正弦值．

点评 本题考查函数与方程的综合应用，根的分布以及韦达定理的应用，考查转化思想以及计算能力．