Question

已知向量=（2cos，1），=（cos，3cosx），设函数f（x）=（-）•．
（1）若?x∈R，f（x）≤a（a∈R），求a的取值范围；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且f（A）=4，a=，求△ABC的面积S的最大值．

Answer 1

解：（1）由题意，f（x）=（2cos+sin，1-3cosx）•（2cos，1）=sinx-cosx+3=sin（x-）+3
∴f（x）≤
∵?x∈R，f（x）≤a
∴a≥，即a的取值范围为[，+∞）；
（2）∵f（A）=4，∴sin（A-）+3=4，∴sin（A-）=
∵A∈（0，π），∴A-=，∴A=
∵a=，∴b²+c²=10
∴△ABC的面积S=×（b²+c²）=，当且仅当b=c=时等号成立
∴△ABC的面积S的最大值为．
分析：（1）利用向量的数量积公式计算，再利用辅助角公式化简函数，可得函数的值域，从而可求a的取值范围；
（2）利用（1）的解析式及f（A）=4，求出A，根据a=，可得b²+c²=10，利用基本不等式，可得ABC的面积S的最大值．
点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．