Question

6．已知双曲线C以F₁（-2，0）、F₂（2，0）为焦点，且过点P（7，12）．
（1）求双曲线C与其渐近线的方程；
（2）若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，且$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$（O为坐标原点）．求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设出双曲线C方程，利用已知条件求出c，a，解得b，即可求出双曲线方程与渐近线的方程；
（2）设直线l的方程为y=x+t，将其代入方程${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$，通过△＞0，求出t的范围，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韦达定理，通过x₁x₂+y₁y₂=0，求解t即可得到直线方程．

解答 解：（1）设双曲线C的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，半焦距为c，
则c=2，$2a=||P{F_1}|-|P{F_2}||=|\sqrt{{9^2}+{{12}^2}}-\sqrt{{5^2}+{{12}^2}}|=2$，a=1，…（2分）
所以b²=c²-a²=3，
故双曲线C的方程为${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$．　　　　　　　　　   …（4分）
双曲线C的渐近线方程为$y=±\sqrt{3}x$．　　　　　　　    …（6分）
（2）设直线l的方程为y=x+t，将其代入方程${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$，
可得2x²-2tx-t²-3=0（*）                  …（8分）
△=4t²+8（t²+3）=12t²+24＞0，若设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁，x₂是方程（*）的两个根，所以${x_1}+{x_2}=t，{x_1}{x_2}=-\frac{{{t^2}+3}}{2}$，
又由$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，可知x₁x₂+y₁y₂=0，…（11分）
即x₁x₂+（x₁+t）（x₂+t）=0，可得$2{x_1}{x_2}+t（{x_1}+{x_2}）+{t^2}=0$，
故-（t²+3）+t²+t²=0，解得$t=±\sqrt{3}$，
所以直线l方程为$y=x±\sqrt{3}$．　　　　　   　　 　　 　…（14分）

点评 本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查计算能力．