Question

下列说法：
①“?x∈R，使2^x＞3”的否定是“?x∈R，使2^x≤3”
②函数y=sin（2x+

π

3

）sin（

π

6

-2x）的最小正周期是π；
③命题“函数f（x）在x=x₀处有极值，则f′（x₀）=0”的否命题是真命题；
④f（x）是（-∞，0）∪（0+∞）上的奇函数x＞0的解析式是f（x）=2^x，则x＜0的解析式为f（x）=-2^-x；
其中正确的说法个数为（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

分析：①“?x∈R，使2^x＞3”的否定是“?x∈R，使2^x≤3”，由特称命题否定书写格式进行判断；
②函数y=sin（2x+

π

3

）sin（

π

6

-2x）的最小正周期是π，由三角恒等变换公式化简后判断；
③命题“函数f（x）在x=x₀处有极值，则f′（x₀）=0”的否命题是真命题，判断原命题的真假，由真值表判断；
④f（x）是（-∞，0）∪（0+∞）上的奇函数x＞0的解析式是f（x）=2^x，则x＜0的解析式为f（x）=-2^-x；由奇函数的性质求出解析式，对照多年命题真假．

解答：解：①“?x∈R，使2^x＞3”的否定是“?x∈R，使2^x≤3”，特称命题的否定是全称命题，由书写规则知此命题是正确命题；
②函数y=sin（2x+

π

3

）sin（

π

6

-2x）的最小正周期是π，由于y=sin（2x+

π

3

）sin（

π

6

-2x）=sin（2x+

π

3

）cos（2x+

π

3

）=

1

2

sin（4x+

2π

3

），由公式求得其周期是

π

2

，故此命题不正确；
③命题“函数f（x）在x=x₀处有极值，则f′（x₀）=0”的否命题是真命题，由于f′（x₀）=0时，数f（x）在x=x₀处不一定有极值，故此命题不正确；
④f（x）是（-∞，0）∪（0+∞）上的奇函数x＞0的解析式是f（x）=2^x，则x＜0的解析式为f（x）=-2^-x，当x＜0，-x＞0，可得-f（x）=-f（-x）=-2^-x，故此命题正确．
综上得，①④是正确命题，
故选B

点评：本题考查命题的否定，解题的关键是熟练掌握命题的否定的书写格式以及特殊命题--全称命题与特称命题的书写格式，命题的学习中，区别命题的否定与否命题是一个疑点，应紧扣定义认真理解，正确区分．