Question

9．已知函数f（x）=|x-10|+|x-20|，且满足f（x）＜10a+10（a∈R）的解集不是空集．
（Ⅰ）求实数a的取值集合A
（Ⅱ）若b∈A，a≠b，求证a^ab^b＞a^bb^a．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值三角不等式得|x-10|+|x-20|≥|（x-10）-（x-20）|=10，求得最小值；
（2）运用指数函数的性质，不妨设a＞b＞0，则a-b＞0且$\frac{a}{b}$＞1，则$（\frac{b}{a}）^{a-b}$＞1恒成立．

解答 解（1）要使不等式|x-10|+|x-20|＜10a+10的解集不是空集，
则（|x-10|+|x-20|）_min＜10a+10，
根据绝对值三角不等式得：|x-10|+|x-20|≥|（x-10）-（x-20）|=10，
即（|x-10|+|x-20|）_min=10，
所以，10＜10a+10，解得a＞0，
所以，实数a的取值集合为A=（0，+∞）；
（2）∵a，b∈（0，+∞）且a≠b，
∴不妨设a＞b＞0，则a-b＞0且$\frac{a}{b}$＞1，
则$（\frac{b}{a}）^{a-b}$＞1恒成立，即$\frac{{a}^{a-b}}{{b}^{a-b}}$＞1，
所以，a^a-b＞b^a-b，
将该不等式两边同时乘以a^bb^b得，
a^ab^b＞a^bb^a，即证．

点评 本题主要考查了绝对值三角不等式的应用和不等式的证明，涉及指数函数的性质，属于中档题．