Question

命题：①sin²x+

4

sin2x

的最小值为4．
②若x、y∈R⁺，且

1

x

+

9

y

=1，则x+y的最小值是12．
③点P（-1，2）到直线l：ax+y+a²+a=0的距离不小于2．
④直线y=x•tanα（0＜α＜π，α≠

π

2

）的倾斜角为α．
其中正确命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：不等式的解法及应用,直线与圆

分析：①②使用基本不等式，要公式注意使用的3个条件，①不能取相等，②最小值为16；③直接使用公式求点到直线距离转化为基本不等式求最值，判断即可，④考察直线倾斜角的定义，注意倾斜角的范围．

解答： 解：①因为sin²x=

4

sin2x

时sin²x=2，取不到，所以sin²x+

4

sin2x

＞4，最小值取不到4，①错误；
②若x、y∈R⁺，且

1

x

+

9

y

=1，则x+y=（

1

x

+

9

y

）（x+y）=10+

y

x

+

9x

y

≥10+2

y x × 9x y

=16，则x+y=的最小值是16，②错误；
③点P（-1，2）到直线l：ax+y+a²+a=0的距离为

|-a+2+a2+a|

a2+1

=

a2+2

a2+1

=

a2+1

+

1

a2+1

≥2，所以③正确；
④直线y=x•tanα的斜率为tanα，又0＜α＜π，α≠

π

2

则倾斜角为α，正确．
故答案为：③④

点评：①②③都涉及基本不等式的使用，要严格判断“一正二定三相等”．