Question

6．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$在x∈[0，π]上的解集；
（2）设g（x）=2$\sqrt{3}$cos²x+f（x），g（α）=$\frac{4}{5}$+$\sqrt{3}$，α∈（$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$），求sin2α的值．

Answer 1

分析 （1）利用函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）利用三角恒等变换求得 sin（2α+$\frac{π}{3}$）的值，可得cos（2α+$\frac{π}{3}$）的值，再利用两角和差的正弦公式求得 sin2α=sin[（2α+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]的值．

解答 解：（1）由函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象知A=1，
且 $\frac{3T}{4}$=$\frac{3}{4}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{5π}{12}$+$\frac{π}{3}$，
∴ω=2．
再根据五点法作图可得2•$\frac{5π}{12}$+φ=$\frac{π}{2}$，求得φ=-$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
∵f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$\frac{π}{3}$+2kπ＜2x-$\frac{π}{3}$＜2kπ+$\frac{2π}{3}$，求得 kπ+$\frac{π}{3}$＜x＜kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
再根据x∈[0，π]，可得$\frac{π}{3}$＜x＜$\frac{π}{2}$，故原不等式的解集为（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）．
（2）设g（x）π=2$\sqrt{3}$cos²x+f（x），g（α）=2$\sqrt{3}$cos²α+sin（2α-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$cos2α+$\frac{1}{2}$sin2α-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2α
=$\frac{1}{2}$sin2α+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2α+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$+sin（2α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$+$\sqrt{3}$，
∴sin（2α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$．
∵α∈（$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$），∴2α+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{4π}{3}$），∴cos（2α+$\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（2α+\frac{π}{3}）}$=-$\frac{3}{5}$，
∴sin2α=sin[（2α+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]=sin（2α+$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$-cos （2α+$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$=$\frac{4}{5}•\frac{1}{2}$-（-$\frac{3}{5}•\frac{\sqrt{3}}{2}$）=$\frac{4+3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，三角恒等变换，属于中档题．