Question

3．在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E、F分别为AB、BC的中点．点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧$\widehat{DE}$上变动（如图所示），若$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{ED}$+μ$\overrightarrow{AF}$，其中λ，μ∈R．则2λ-μ的取值范围是[-1，1]．

Answer 1

分析 建立如图所示的坐标系，则A（0，0），E（1，0），D（0，1），F（1.5，0.5），P（cosα，sinα）（0°≤α≤90°），λ，μ用参数进行表示，利用辅助角公式化简，即可得出结论．

解答 解：建立如图所示的坐标系，则A（0，0），E（1，0），D（0，1），F（1.5，0.5），P（cosα，sinα）（0°≤α≤90°），
∵$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{ED}$+μ$\overrightarrow{AF}$，
∴（cosα，sinα）=λ（-1，1）+μ（1.5，0.5），
∴cosα=-λ+1.5μ，sinα=λ+0.5μ，
∴λ=$\frac{1}{4}$（3sinα-cosα），μ=$\frac{1}{2}$（cosα+sinα），
∴2λ-μ=sinα-cosα=$\sqrt{2}$sin（α-45°）
∵0°≤α≤90°，
∴-45°≤α-45°≤45°，
∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（α-45°）≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴-1≤$\sqrt{2}$sin（α-45°）≤1
∴2λ-μ的取值范围是[-1，1]．
故答案为：[-1，1]．

点评 本题考查平面向量知识的运用，考查学生的计算能力，正确利用坐标系是关键．