Question

A．（选修4-4坐标系与参数方程）已知点A是曲线ρ=2sinθ上任意一点，则点A到直线ρsin(θ+

π

3

)=4的距离的最小值是

 

．
B．（选修4-5不等式选讲）不等式|x-log₂x|＜x+|log₂x|的解集是

 

．
C．（选修4-1几何证明选讲）如图所示，AC和AB分别是圆O的切线，且OC=3，AB=4，延长AO到D点，则△ABD的面积是

 

．

Answer 1

分析：A  把曲线的极坐标方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式 求出圆心（0，1）到直线的距离，所求的距离
等于此距离减去半径．
B 由不等式可得 x＞0，且log₂x＞0，故有 x＞1．
C  由勾股定理可得 AO，由 sinθ=

OB

AO

=

DE

AD

，可求得高DE，利用S△ABD=

1

2

•AB•DE 求得△ABD的面积．

解答：解：A 曲线ρ=2sinθ 即 x²+y²=2y，x²+（y-1）²=1，表示圆心在（0，1），半径等于1的圆．
直线ρsin(θ+

π

3

)=4  即

1

2

y+

3

2

 x=4，

3

x+y-8=0，
圆心（0，1）到直线的距离等于 

|0+1-8|

3+1

=

7

2

，点A到直线ρsin(θ+

π

3

)=4的距离的最小值是

7

2

-1=

5

2

．
B   由对数函数的定义域知，x＞0． 
当log₂x=0时，x=1，经检验，不等式不成立．
当log₂x＜0时，|x-log₂x|=x+|log₂x|，不等式不成立．
当log₂x＞0时，不等式|x-log₂x|＜x+|log₂x|成立，∴x＞1．
综上，不等式的解集是 {x|x＞1}．
C  如图：作 DE⊥AB，E为垂足，设∠BAO=θ，∵OC=OB=3，AB=AC=4，∴由勾股定理可得 AO=5．
AD=5+3=8，直角三角形BAO中，sinθ=

OB

AO

=

3

5

，直角三角形ADE 中，sinθ=

DE

AD

=

DE

8

，
∴

3

5

=

DE

8

，∴DE=

24

5

，S△ABD=

1

2

•AB•DE=

1

2

•4•

24

5

=

48

5

．

故答案为：A

5

2

；B（1，+∞）；C

48

5

．

点评：本题考查把极坐标方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，绝对值不等式的解法，以及直角三角形中的边角关系．