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如图,对每个正整数n,An(xn,yn)是抛物线x2=4y上的点,过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点Bn(sn,tn),
(Ⅰ)试证:xnsn=-4(n≥1);
(Ⅱ)取xn=2n,并记Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点.试证:|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=2n-2-n+1+1(n≥1)。

证明:(Ⅰ)对任意固定的n≥1,
因为焦点F(0,1),所以可设直线AnBn的方程为y-1=
将它与抛物线方程联立得
由一元二次方程根与系数的关系得
(Ⅱ)对任意固定的n≥1,
利用导数知识易得抛物线在An处的切线的斜率
在An处的切线方程为,①
类似地,可求得在Bn处的切线方程为,②
由②减去①得
从而

,③
将③代入①并注意得交点Cn的坐标为(,-1),
由两点间的距离公式得
从而
现在,利用上述已证结论并由等比数列求和公式得,

 
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,对每个正整数n,An(xn,yn)是抛物线x2=4y上的点,过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点Bn(sn,tn).
(Ⅰ)试证:xnsn=-4(n≥1);
(Ⅱ)取xn=2n,并记Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点.试证:|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=2n-2-n+1+1.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(22)如图,对每个正整数n,An(xn,yn)是抛物线x2=4y上的点,过焦点F的直线FA.交抛物线于另一点Bn(sn,tn).

(Ⅰ)试证:xnsn=-4(n≥1);

(Ⅱ)取xn=2n,并记Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点.试证:

|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=2n-2-n+1+1(n≥1).

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(Ⅰ)试证:xnsn=-4(n≥1);
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如图,对每个正整数n,An(xn,yn)是抛物线x2=4y上的点,过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点Bn(sn,tn).
(Ⅰ)试证:xnsn=-4(n≥1);
(Ⅱ)取xn=2n,并记Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点.试证:|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=2n-2-n+1+1.

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