Question

如图，对每个正整数n，A_n(x_n，y_n)是抛物线x²=4y上的点，过焦点F的直线FA_n交抛物线于另一点B_n（s_n，t_n），
（Ⅰ）试证：x_ns_n=-4（n≥1）；
（Ⅱ）取x_n=2ⁿ，并记C_n为抛物线上分别以A_n与B_n为切点的两条切线的交点．试证：|FC₁|+|FC₂|+…+|FC_n|=2ⁿ-2^-n+1+1（n≥1）。

Answer 1

证明：（Ⅰ）对任意固定的n≥1，
因为焦点F(0，1)，所以可设直线A_nB_n的方程为y-1=，
将它与抛物线方程联立得，
由一元二次方程根与系数的关系得。
（Ⅱ）对任意固定的n≥1，
利用导数知识易得抛物线在A_n处的切线的斜率，
故在A_n处的切线方程为，①
类似地，可求得在B_n处的切线方程为，②
由②减去①得，
从而，
，
，③
将③代入①并注意得交点C_n的坐标为（，-1），
由两点间的距离公式得，
从而，
现在，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得，