Question

在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积V；
（2）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；
（3）求证CE∥平面PAB．

Answer 1

分析：（1）利用直角三角形中的边角关系求出BC、AC、CD，由 SABCD=

1

2

AB•BC+

1

2

AC•CD 求得底面的面积，
代入体积公式进行运算．
（2）证明AF⊥PC，再由CD⊥平面PAC 证明CD⊥PC，由EF∥CD，可得PC⊥EF，从而得到PC⊥平面AEF．
（3）延长DC，AB，设它们交于点N，证明EC是三角形DPN的中位线，可得EC∥PN，从而证明EC∥平面PAB．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，∴BC=

3

，AC=2．
在Rt△ACD中，AC=2，∠ACD=60°，∴CD=2

3

，AD=4．
∴SABCD=

1

2

AB•BC+

1

2

AC•CD=

1

2

×1×

3

+

1

2

×2×2

3

=

5

2

3

．
则V=

1

3

×

5

2

3

×2=

5

3

3

．
（2）证明：∵PA=CA，F为PC的中点，∴AF⊥PC．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC．
∵E为PD中点，F为PC中点，∴EF∥CD，则EF⊥PC，∵AF∩EF=F，∴PC⊥平面AEF．
（3）证明：延长DC，AB，设它们交于点N，连PN．∵∠NAC=∠DAC=60°，AC⊥CD，
∴C为ND的中点．∵E为PD中点，∴EC∥PN．∵EC?平面PAB，PN?平面PAB，
∴EC∥平面PAB．

点评：本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，求棱锥的体积，证明CE∥平面PAB 是解题的难点．