Question

（2011•烟台一模）如图：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面正三角形ABC的边长为3，D为侧棱BB₁的中点，且DB=2，∠ABD=90°，DA=DC．
（1）证明：平面AC₁D⊥平面AA₁C₁C；
（2）求三棱锥A₁-AC₁D的体积．

Answer 1

分析：（1）通过△ABD≌△CBD易证DB⊥平面ABC，从而有CC₁⊥平面ABC；设AC₁的中点为M，AC的中点为N，连接DM、DN和BN，可证得DM⊥平面AA₁C₁C，利用面面垂直的判定定理即可证得平面AC₁D⊥平面AA₁C₁C；
（2）由（1）易知△AA₁C₁的面积为6，从而可求得三棱锥A₁-AC₁D的体积．

解答：（1）证明：∵DA=DC，DB=DB，BA=BC，
∴△ABD≌△CBD，
∴∠ABD=∠CBD=90°，即DB⊥BA，DB⊥BC，又BA∩BC=B，
∴DB⊥平面ABC，即BB₁⊥
∴CC₁⊥平面ABC，…4分
设AC₁的中点为M，AC的中点为N，连接DM、DN和BN，则MN∥CC₁且MN=

1

2

CC₁，
又∵BD∥CC₁且BD=

1

2

CC₁，
∴MN

∥

.

BD，即四边形MNBD为平行四边形，
∴MD∥BN，又△ABC为正三角形，
∴BN⊥AC，
又∵CC₁⊥平面ABC，
∴CC₁⊥BN，又CC₁∩CA=C，
∴BN⊥平面AA₁C₁C，
∴DM⊥平面AA₁C₁C，
又DM⊆平面AC₁D，
∴平面AC₁D⊥平面AA₁C₁C；…9分
（2）∵△AA₁C₁的面积为6，
∴三棱锥A₁-AC₁D的体积V=

1

3

×6×DM=2BN=3

3

…12分

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，考查棱锥的体积，着重考查推理、计算与分析证明的能力，属于难题．