Question

【题目】已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，其内接正方形的面积为4．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设M为椭圆C的右顶点，过点且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，记直线PM，QM的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）+=1（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）由椭圆的离心率可以得到的关系，结合，可知的关系，

由对称性可得，可求椭圆内接正方形位于第一象限顶点的坐标，代入椭圆方程中，求出的值。

（Ⅱ）设了直线方程，与椭圆方程联立，得到一个一元二次方程，求出k1k2的表达式，利用一元二次方程根与系数的关系，对表达式进行化简求值。

解：（Ⅰ）∵e==，

∴a=c，即a2=2b2，①，

由对称性可得，椭圆内接正方形位于第一象限顶点的坐标为（x0，y0），

∴4x02=4，x0=1，

∴+=1，②，

由①②解得a=，b=，

∴椭圆C的标准方程为+=1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知M（，0），依题意得直线l的斜率存在，设其方程为y=k（x-3），

设P（x1，y1），Q（x2，y2），（x1，x2≠），联立方程，消去y并整理可得

∴x1+x2=，x1x2=，

∴k1k2======1，

∴k1k2=1