【题目】已知椭圆方程为.
(1)设椭圆的左右焦点分别为、,点在椭圆上运动,求的值;
(2)设直线和圆相切,和椭圆交于、两点,为原点,线段、分别和圆交于、两点,设、的面积分别为、,求的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)设点,由该点在椭圆上得出,然后利用距离公式和向量数量积的坐标运算求出的值;
(2)分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论,在直线的斜率不存在时,可求得,在直线的斜率存在时,设直线的方程为,设点、,根据直线与圆相切,得出,并将直线的方程与椭圆方程联立,列出韦达定理,将表示为的函数,转化为函数的值域的求解,综合可得出答案.
(1)由已知,,设,
由,
同理,可得,
.
结合,得,故;
(2)当直线l的斜率不存在时,其方程为,
由对称性,不妨设,此时,故.
若直线的斜率存在,设其方程为,
由已知可得,则,
设、,将直线与椭圆方程联立,
得,
由韦达定理得,.
结合及,
可知.
将根与系数的关系代入整理得:
,
结合,得.
设,,
则.
的取值范围是.
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【题目】为了提高学生的身体素质,某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了“我运动,我健康,我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动.为了了解学生的运动状况,采用分层抽样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试.下表是高二年级的5名学生的测试数据(单位:个/分钟):
(1)求高一、高二两个年级各有多少人?
(2)设某学生跳绳个/分钟,踢毽个/分钟.当,且时,称该学生为“运动达人”.
①从高二年级的学生中任选一人,试估计该学生为“运动达人”的概率;
②从高二年级抽出的上述5名学生中,随机抽取3人,求抽取的3名学生中为“运动达人”的人数的分布列和数学期望.
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【题目】“团购”已经渗透到我们每个人的生活,这离不开快递行业的发展,下表是2013-2017年全国快递业务量(x亿件:精确到0.1)及其增长速度(y%)的数据
(1)试计算2012年的快递业务量;
(2)分别将2013年,2014年,…,2017年记成年的序号t:1,2,3,4,5;现已知y与t具有线性相关关系,试建立y关于t的回归直线方程;
(3)根据(2)问中所建立的回归直线方程,估算2019年的快递业务量
附:回归直线的斜率和截距地最小二乘法估计公式分别为:,
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【题目】第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行,某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作,每人至少完成一项,每项工作由一人完成,则不同的安排方式共有多少种
A.60B.90C.120D.150
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【题目】为了调查一款手机的使用时间,研究人员对该款手机进行了相应的测试,将得到的数据统计如下图所示:
并对不同年龄层的市民对这款手机的购买意愿作出调查,得到的数据如下表所示:
愿意购买该款手机 | 不愿意购买该款手机 | 总计 | |
40岁以下 | 600 | ||
40岁以上 | 800 | 1000 | |
总计 | 1200 |
(1)根据图中的数据,试估计该款手机的平均使用时间;
(2)请将表格中的数据补充完整,并根据表中数据,判断是否有99.9%的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关.
参考公式:,其中.
参考数据:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】已知椭圆C:=1(a>b>0),点A、B分别是椭圆C的左顶点和上顶点,直线AB与圆G:x2+y2=(c是椭圆的半焦距)相离,P是直线AB上一动点,过点P作圆G的两切线,切点分别为M、N.
(1)若椭圆C经过两点、,求椭圆C的方程;
(2)当c为定值时,求证:直线MN经过一定点E,并求·的值(O是坐标原点);
(3)若存在点P使得△PMN为正三角形,试求椭圆离心率的取值范围..
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