Question

设a＞1，定义，如果对任意的n∈N*且n≥2，不等式12f（n）+7log_ab＞7log_a+1b+7（a＞0且a≠1）恒成立，则实数b的取值范围是（ ）
A．
B．（0，1）
C．（0，4）
D．（1，+∞）

Answer 1

【答案】分析：由不等式12f（n）+7log_ab＞7log_a+1b+7恒成立这条件转化化为“f（n）＞t”这个形式，要求t，先求f（n）的最小值，最后就是利用a与b的关系求出b的范围．
解答：解：由知，，
∴=，∴f（n）是递增数列．
∴当n≥2时，f（n）的最小值是f（2）=，
要使对任意的n∈N*且n≥2，不等式12f（n）+7log_ab＞7log_a+1b+7恒成立，
则满足12•+7log_ab＞7log_a+1b+7，
即log_ab＞log_a+1b，
即，
∴
∵a＞1，∴lgb＞0，即b＞1．
故选D．
点评：此题考查数列的增减性，及不等式恒成立问题的常规解法，一般都是转化为求函数的最值来解决．