Question

已知圆C：x²+y²-2x-4y-20=0，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，m∈R．
（I）直线l是否过定点，有则求出来？判断直线与圆的位置关系及理由？
（II）求直线被圆C截得的弦长L的取值范围及L最短时弦所在直线的方程．

Answer 1

分析：（I）直线l即 （x+y-4）+m（2x+y-7）=0，由

x+y-4=0 2x+y-7=0

求得直线过定点A（3，1）．再由|AC|=

4+1

，小于半径，可得点A在圆内，故直线和圆相交．
（II）当直线l过圆心时，弦长L最大为直径10，当CA和直线l垂直时，弦长L最小为 4

5

，由此可得直线被圆C截得的弦长L的取值范围．当弦长L最小时，求得AC的斜率K_AC，可得直线l的斜率，再由点斜式求得直线l的方程．

解答：解：（I）直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0 即 （x+y-4）+m（2x+y-7）=0，由

x+y-4=0 2x+y-7=0

 求得

x=3 y=1

，故直线过定点A（3，1）．
再由圆C：x²+y²-2x-4y-20=0，即 （x-1）²+（y-2）²=25，表示以C（1，2）为圆心，以5为半径的圆，而|AC|=

4+1

，小于半径，
故点A在圆内，故直线和圆相交．
（II）当直线l过圆心时，弦长L最大为直径10，当CA和直线l垂直时，弦长L最小，为2

25-5

=4

5

，
故直线被圆C截得的弦长L的取值范围为[4

5

，10]．
当弦长L最小时，AC的斜率K_AC=

1-2

3-1

=-

1

2

，故直线l的斜率为2，故直线l的方程为 y-1=2（x-3），即 2x-y-5=0．

点评：本题主要考查直线过定点问题，直线和圆相交的性质，用点斜式求直线的方程，属于中档题．