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设圆C的圆心在直线3x+y-7=0上,且圆经过原点和点(3,-1).
(1)求圆C的方程;
(2)若点P是圆C上的动点,点Q是直线3x+4y-25=0上的动点,求|PQ|的最小值.
分析:(1)设圆心C坐标为(a,7-3a),则由圆经过原点和点(3,-1)可得 a2+(7-3a)2=(a-3)2+(7-3a+1)2=r2.解得a的值,可得圆心的坐标和半径r,从而求得所求的圆的方程.
(2)求得圆心C(2,1)到直线3x+4y-25=0的距离为 d=3>r,可得|PQ|的最小值为 d-r,运算求得结果.
解答:解:(1)设圆心C坐标为(a,7-3a),则由圆经过原点和点(3,-1)可得 a2+(7-3a)2=(a-3)2+(7-3a+1)2=r2
解得a=2,故圆心的坐标为(2,1),半径r=
5
,故所求的圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
(2)由于圆心C(2,1)到直线3x+4y-25=0的距离为 d=
|6+4-25|
9+16
=3>r,
故|PQ|的最小值为 d-r=3-
5
点评:本题主要考查求圆的标准方程,直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式的应用,属于中档题.
练习册系列答案
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x2
a2
-
y2
2
=1(a>0)的右焦点且与此双曲线的渐近线相切,若圆C被直线l:x-
3
y=0截得的弦长等于2,则a的值为(  )
A、
2
B、
3
C、2
D、3

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