Question

设圆C的圆心在直线3x+y-7=0上，且圆经过原点和点（3，-1）．
（1）求圆C的方程；
（2）若点P是圆C上的动点，点Q是直线3x+4y-25=0上的动点，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析：（1）设圆心C坐标为（a，7-3a），则由圆经过原点和点（3，-1）可得 a²+（7-3a）²=（a-3）²+（7-3a+1）²=r²．解得a的值，可得圆心的坐标和半径r，从而求得所求的圆的方程．
（2）求得圆心C（2，1）到直线3x+4y-25=0的距离为 d=3＞r，可得|PQ|的最小值为 d-r，运算求得结果．

解答：解：（1）设圆心C坐标为（a，7-3a），则由圆经过原点和点（3，-1）可得 a²+（7-3a）²=（a-3）²+（7-3a+1）²=r²．
解得a=2，故圆心的坐标为（2，1），半径r=

5

，故所求的圆的方程为（x-2）²+（y-1）²=5．
（2）由于圆心C（2，1）到直线3x+4y-25=0的距离为 d=

|6+4-25|

9+16

=3＞r，
故|PQ|的最小值为 d-r=3-

5

．

点评：本题主要考查求圆的标准方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．