Question

【题目】已知函数（）在定义域内有两个不同的极值点.

（1）求实数的取值范围；

（2）若有两个不同的极值点，，且，若不等式恒成立.求正实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求导得到有两个不相等实根，令，计算函数单调区间得到值域，得到答案.

（2），是方程的两根，故，化简得到，设函数，讨论范围，计算最值得到答案.

（1）由题可知有两个不相等的实根，

即：有两个不相等实根，令，

，，

，；，，

故在上单增，在上单减，∴.

又，时，；时，，

∴，即.

（2）由（1）知，，是方程的两根，

∴，则

因为在单减，∴，又，∴

即，两边取对数，并整理得：

对恒成立，

设，，

，

当时，对恒成立，

∴在上单增，故恒成立，符合题意；

当时，，时，

∴在上单减，，不符合题意.

综上，.