Question

（2013•温州二模）如图．直线l：y=kx+1与椭圆C₁：

x2

16

+

y2

4

=1交于A，C两点，A．C在x轴两侧，B，
D是圆C₂：x²+y²=16上的两点．且A与B．C与D的横坐标相同．纵坐标同号．
（I）求证：点B纵坐标是点A纵坐标的2倍，并计算||AB|-|CD||的取值范围；
（II）试问直线BD是否经过一个定点？若是，求出定点的坐标：若不是，说明理由．

Answer 1

分析：（I）设A（x₁，y₁），B（x₁，y₂），分别代入椭圆、圆的方程可得

x12+4y12=16 x12+y22=16

，消掉x₁得y22=4y12，由y₁，y₂同号得y₂=2y₁，设C（x₃，y₃），D（x₃，y₄），同理可得y₄=2y₃，联立直线与椭圆方程消掉y得x的二次方程，由A、C在x轴的两侧，得y₁y₃＜0，代入韦达定理可求得k²范围，而||AB|-|CD||=||y₁|-|y₃||=|y₁+y₃|=|k（x₁+x₃）+2|，再由韦达定理及k²范围即可求得答案；
（II）由斜率公式求出直线BD的斜率，由点斜式写出直线BD方程，再由点A在直线l上可得直线BD方程，从而求得其所过定点．

解答：（I）证明：设A（x₁，y₁），B（x₁，y₂），
根据题意得：

x12+4y12=16 x12+y22=16

⇒y22=4y12，
∵y₁，y₂同号，∴y₂=2y₁，
设C（x₃，y₃），D（x₃，y₄），同理可得y₄=2y₃，
∴|AB|=|y₁|，|CD|=|y₃|，
由

x2+4y2=16 y=kx+1

⇒（4k²+1）x²+8kx-12=0，△＞0恒成立，
则x1+x3=

-8k

4k2+1

，x1x3=

-12

4k2+1

，
∵A、C在x轴的两侧，∴y₁y₃＜0，
∴（kx₁+1）（kx₃+1）=k²x₁x₃+k（x₁+x₃）+1=

1-16k2

4k2+1

＜0，
∴k2＞

1

16

，
∴||AB|-|CD||=||y₁|-|y₃||=|y₁+y₃|=|k（x₁+x₃）+2|=

2

4k2+1

∈（0，

8

5

）；
（II）解：∵直线BD的斜率k′=

2y3-2y1

x3-x1

=2k，
∴直线BD的方程为y=2k（x-x₁）+2y₁=2kx-2（kx₁-y₁），
∵y₁=kx₁+1，∴直线BD的方程为y=2kx+2，
∴直线BD过定点（0，2）．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、两点间的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，本题中多次用到韦达定理，应熟练掌握．