Question

7．如图，AB为圆O的直径，E是圆O上不同于A，B的动点，四边形ABCD为矩形，且AB=2，AD=1，平面ABCD⊥平面ABE．
（1）求证：BE⊥平面DAE；
（2）当平面ABCD与平面CD E所成二面角为30°时，证明△ABE的面积为定值，并求出这个定值．

Answer 1

分析 （1）推导出DA⊥AB，DA⊥BE，AE⊥BE，由此能证明BE⊥平面DAE．
（2）过点E作EH⊥AB，交AB于点H，又过点H作HF⊥CD，交CD于点F，连结EF，则∠EFH平面ABCD与平面CD E所成二面角，且∠EFH=30°，在Rt△BAE中，记∠BAE=α（0＜$α＜\frac{π}{2}$），推导出sin2α=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，从而当平面ABCD与平面CD E所成二面角为30°时，△ABE的面积为定值$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴DA⊥AB，
又平面ABCD⊥平面ABE，且平面ABCD∩平面ABE=AB，
∴DA⊥平面ABE，
∵BE?平面ABE，∴DA⊥BE，
又∵AB为圆O的直径，E是O上不同于A，B的动点，
∴AE⊥BE，
∵DA∩AE=E，∴BE⊥平面DAE．
解：（2）∵平面ABCD⊥平面ABE，
过点E作EH⊥AB，交AB于点H，
则EH⊥平面ABCD，
∵CD?平面ABCD，∴EH⊥CD，
又过点H作HF⊥CD，交CD于点F，则CD⊥平面ABCD，
连结EF，∵EF?平面EFH，∴CD⊥EF，
∴∠EFH平面ABCD与平面CD E所成二面角，∴∠EFH=30°，
在Rt△BAE中，记∠BAE=α（0＜$α＜\frac{π}{2}$），
∵AB=2，∴AE=2cosα，BE=2sinα，
HE=AE•sinα=2cosαsinα=sin2α，
又FH=AD=1，
在△EHF中，tan$∠EFH=\frac{HE}{FH}=\frac{sin2α}{1}=sin2α$，
即sin2α=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴${S}_{△ABE}=\frac{1}{2}AE×BE=\frac{1}{2}×2sinα×2cosα$=sin2α=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴当平面ABCD与平面CDE所成二面角为30°时，△ABE的面积为定值$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查空间位置关系的判断与证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．