Question

15．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁D与BC₁夹角的大小是90°；若E、F分别为AB、CC₁的中点，则异面直线EF与A₁C₁夹角的大小是30°．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出B₁D与BC₁夹角的大小和异面直线EF与A₁C₁夹角的大小．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，
则B₁（2，2，2），D（0，0，0），B（2，2，0），C₁（0，2，2），
$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（-2，-2，-2），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-2，0，2），
∴$\overrightarrow{{B}_{1}D}$•$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=0，∴B₁D⊥BC₁，
∴B₁D与BC₁夹角的大小是90°；
∵E（2，1，0），F（0，2，1），A₁（2，0，2），
∴$\overrightarrow{EF}$=（-2，1，1），$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（-2，2，0），
设异面直线EF与A₁C₁夹角的大小为θ，
则cosθ=|$\frac{\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}}{|\overrightarrow{EF}|•|\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}|}$|=|$\frac{4+2+0}{\sqrt{6}•\sqrt{8}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴θ=30°．
∴异面直线EF与A₁C₁夹角的大小为30°．
故答案为：90°；30°．

点评 本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．