【题目】设函数f(x)=|2x﹣1|﹣|x+2|.
(Ⅰ)解不等式f(x)>0;
(Ⅱ)若x0∈R,使得f(x0)+2m2<4m,求实数m的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)①当x<﹣2时,f(x)=1﹣2x+x+2=﹣x+3,令﹣x+3>0,解得x<3,又∵x<﹣2,∴x<﹣2; ②当﹣2≤x≤ 时,f(x)=1﹣2x﹣x﹣2=﹣3x﹣1,令﹣3x﹣1>0,解得x<﹣ ,又∵﹣2≤x≤ ,∴﹣2≤x<﹣ ;
③当x 时,f(x)=2x﹣1﹣x﹣2=x﹣3,令x﹣3>0,解得x>3,又∵x ,∴x>3.
综上,不等式f(x)>0的解集为(﹣∞,﹣ )∪(3,+∞).
(Ⅱ)由(I)得f(x)= ,
∴fmin(x)=f( )=﹣ .
∵x0∈R,使得f(x0)+2m2<4m,∴4m﹣2m2>﹣ ,
整理得:4m2﹣8m﹣5<0,解得:﹣ <m< ,
∴m的取值范围是(﹣ , )
【解析】(1)利用零点分区间讨论去掉绝对值符号,化为分段函数,在每一个前提下去解不等式,每一步的解都要和前提条件找交集得出每一步的解,最后把每一步最后结果找并集得出不等式的解;(2)根据第一步所化出的分段函数求出函数f(x)的最小值,若x0∈R,使得f(x0)+2m2<4m成立,只需4m﹣2m2>fmin(x),解出实数m的取值范围.
【考点精析】本题主要考查了绝对值不等式的解法的相关知识点,需要掌握含绝对值不等式的解法:定义法、平方法、同解变形法,其同解定理有;规律:关键是去掉绝对值的符号才能正确解答此题.
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【题目】对于定义域为D的函数y=f(x),如果存在区间[m,n]D,其中m<n,同时满足:①f(x)在[m,n]内是单调函数;②当定义域是[m,n]时,f(x)的值域也是[m,n]. 则称函数f(x)是区间[m,n]上的“保值函数”,区间[m,n]称为“保值区间”.
(1)求证:函数g(x)=x2﹣2x不是定义域[0,1]上的“保值函数”.
(2)若函数f(x)=2+ ﹣ (a∈R,a≠0)是区间[m,n]上的“保值函数”,求a的取值范围.
(3)对(2)中函数f(x),若不等式|a2f(x)|≤2x对x≥1恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】如图,某机械厂要将长,宽的长方形铁皮进行裁剪.已知点为的中点,点在边上,裁剪时先将四边形沿直线翻折到处(点分别落在直线下方点处,交边于点),再沿直线裁剪.
(1)当时,试判断四边形的形状,并求其面积;
(2)若使裁剪得到的四边形面积最大,请给出裁剪方案,并说明理由.
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【题目】为了普及环保知识,增强环保意识,某校从理科甲班抽取60人,从文科乙班抽取50人参加环保知识测试.
(Ⅰ)根据题目条件完成下面2×2列联表,并据此判断是否有99%的把握认为环保知识成绩优秀与学生的文理分类有关.
优秀人数 | 非优秀人数 | 总计 | |
甲班 | |||
乙班 | 30 | ||
总计 | 60 |
(Ⅱ)现已知A,B,C三人获得优秀的概率分别为 ,设随机变量X表示A,B,C三人中获得优秀的人数,求X的分布列及期望E(X).
附: ,n=a+b+c+d
P(K2>k0) | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
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【题目】已知椭圆E: + =1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点,直线l:y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.
(Ⅰ)求椭圆E的方程及点T的坐标;
(Ⅱ)设O是坐标原点,直线l′平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B,且与直线l交于点P.证明:存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA||PB|,并求λ的值.
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【题目】如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
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【题目】如图1,四边形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2CD=4,AD=2,过点C作CO⊥AB,垂足为O,将△OBC沿CO折起,如图2使得平面CBO与平面AOCD所成的二面角的大小为θ(0<θ<π),E,F分别为BC,AO的中点
(1)求证:EF∥平面ABD
(2)若θ= ,求二面角F﹣BD﹣O的余弦值.
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