【题目】已知函数.
(Ⅰ)当时,求函数
的单调区间;
(Ⅱ)若对于任意都有
成立,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)若过点可作函数
图象的三条不同切线,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)(Ⅲ)
【解析】试题分析:(1)先求导数,再求导函数零点,列表分析导函数符号变化规律,进而确定单调区间(2)先化简不等式,利用变量分离得最小值,再利用基本不等式求最小值,即得实数
的取值范围;(3)先设切点
,根据导数几何意义建立方程,转化为
有三个不同的解,利用导数研究函数图像,根据极值点位置确定实数
的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)当时,
,得
.
因为=
,
所以当时,
,函数
单调递增;
当或
时,
,函数
单调递减.
所以函数的单调递增区间为
,单调递减区间为
和
(Ⅱ)由,得
.
因为对于任意都有
成立,
即对于任意都有
成立,
即对于任意都有
成立,
设,
,
则
等号成立当且仅当即
.
所以实数的取值范围为
.
(Ⅲ)设点是函数
图象上的切点,
则过点的切线的斜率为
,
所以过点的切线方程为
.
因为点在切线上,
即.
若过点可作函数
图象的三条不同切线,
则方程有三个不同的实数解.
令,则函数
与
轴有三个不同的交点.
令,解得
或
.
因为,
,
所以必须,即
.
所以实数的取值范围为
.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为
(
为参数),点
是曲线
上的一动点,以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的方程为
.
(Ⅰ)求线段的中点
的轨迹的极坐标方程;
(Ⅱ)求曲线上的点到直线
的距离的最大值.
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【题目】已知下列命题:
①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每30分钟从生产流水线中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样方法是系统抽样;
②两个变量的线性相关程度越强,则相关系数的值越接近于1;
③两个分类变量与
的观测值
,若
越小,则说明“
与
有关系”的把握程度越大;
④随机变量~
,则
.
其中为真命题的是__________.
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【题目】邗江中学高二年级某班某小组共10人,利用寒假参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会.
(1)记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件,求事件
发生的概率;
(2)设为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量
的分布列和数学期望.
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【题目】某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y(单位:千元)的数据如下表:
(1)求关于
的线性回归方程;
(2)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
,
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【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)求曲线在点
处的切线的斜率;
(Ⅱ)判断方程(
为
的导数)在区间
内的根的个数,说明理由;
(Ⅲ)若函数在区间
内有且只有一个极值点,求
的取值范围.
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【题目】把长和宽
分别为
和2的长方形
沿对角线
折成
的二面角
,下列正确的命题序号是__________.
①四面体外接球的体积随
的改变而改变;
②的长度随
的增大而增大;
③当时,
长度最长;
④当时,
长度等于
.
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【题目】(2017·太原三模)已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数,数列{bn}满足bn=lgan,b3=18,b6=12,则数列{bn}的前n项和的最大值为( )
A. 126 B. 130 C. 132 D. 134
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