Question

（2013•浙江）如图，点P（0，-1）是椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一个顶点，C₁的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径．l₁，l₂是过点P且互相垂直的两条直线，其中l₁交圆C₂于两点，l₂交椭圆C₁于另一点D
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）求△ABD面积取最大值时直线l₁的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意可得b=1，2a=4，即可得到椭圆的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₀，y₀）．由题意可知：直线l₁的斜率存在，设为k，则直线l₁的方程为y=kx-1．利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心O到直线l₁的距离和弦长|AB|，又l₂⊥l₁，可得直线l₂的方程为x+kx+k=0，与椭圆的方程联立即可得到点D的横坐标，即可得出|PD|，即可得到三角形ABD的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值，即得到k的值．

解答：解：（1）由题意可得b=1，2a=4，即a=2．
∴椭圆C₁的方程为

x2

4

+y2=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₀，y₀）．
由题意可知：直线l₁的斜率存在，设为k，则直线l₁的方程为y=kx-1．
又圆C2：x2+y2=4的圆心O（0，0）到直线l₁的距离d=

1

k2+1

．
∴|AB|=2

4-d2

=2

4k2+3 k2+1

．
又l₂⊥l₁，故直线l₂的方程为x+ky+k=0，联立

x+ky+k=0 x2+4y2=4

，消去y得到（4+k²）x²+8kx=0，解得x0=-

8k

4+k2

，
∴|PD|=

8 k2+1

4+k2

．
∴三角形ABD的面积S△=

1

2

|AB|•|PD|=

8 4k2+3

4+k2

．
∴S=

32

4k2+3 + 13 4k2+3

≤

32

2 4k2+3 • 13 4k2+3

=

16 13

13

，当且仅当k=±

10

2

时取等号，
故所求直线l₁的方程为y=±

10

2

x-1．

点评：本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，同时考查了推理能力和计算能力及分析问题和解决问题的能力．