Question

已知椭圆具有性质：若A，B是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0且a，b为常数）上关于原点对称的两点，点P是椭圆上的任意一点，若直线PA和PB的斜率都存在，并分别记为k_PA，k_PB，那么k_PA与k_PB之积是与点P位置无关的定值-

b2

a2

．试对双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0且a，b为常数）写出类似的性质，并加以证明．

Answer 1

分析：由椭圆到双曲线进行类比，不难写出关于双曲线的结论：k_PA•k_PB=

b2

a2

，其中点A、B是双曲线上关于原点对称
的两点，P是双曲线上的任意一点．然后设出点P、A、B的坐标，代入双曲线方程并作差，变形整理即可得到kPA•kPB=

b2

a2

是与点P位置无关的定值．

解答：解：双曲线类似的性质为：
若A，B是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0且a，b为常数）上关于原点对称的两点，点P是双曲线上的任意一点，若直线PA和PB的斜率都存在，并分别记为k_PA，k_PB，那么k_PA与k_PB之积是与点P位置无关的定值

b2

a2

．
证明：设P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），则B（-x₁，-y₁），
且

x 2 0

a2

-

y 2 0

b2

=1①，

x 2 1

a2

-

y 2 1

b2

=1②，
两式相减得：b2(

x

2 0

-

x

2 1

)-a2(

y

2 0

-

y

2 1

)=0，
∴kPA•kPB=

y0-y1

x0-x1

•

y0+y1

x0+x1

=

y 2 0 - y 2 1

x 2 0 - x 2 1

=

b2

a2

即kPA•kPB=

b2

a2

，是与点P位置无关的定值．

点评：本题给出椭圆上的点满足的性质，求一个关于双曲线的类似性质并加以证明．着重考查了椭圆、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．