【题目】长方体
中，
（1）求直线
与
所成角；
（2）求直线与平面
所成角的正弦.
【答案】（1）直线
所成角为90°；（2）
。
【解析】
试题（1）建立空间直角坐标系，求出直线AD1与B1D的方向向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AD1与B1D所成角；
（2）求出平面B1BDD1的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AD1与平面B1BDD1所成角的正弦．
解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0），D1（1，0，1），B1（0，2，1），D（1，0，0）．
∴
，
∴cos
=
=0，
∴
=90°，
∴直线AD1与B1D所成角为90°；
（2）设平面B1BDD1的法向量
=（x，y，z），则
∵
，
=（﹣1，2，0），
∴
，
∴可取=（2，1，0），
∴直线AD1与平面B1BDD1所成角的正弦为
=
．
名师导航单元期末冲刺100分系列答案
名校名卷单元同步训练测试题系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知数列
中，已知
，
对任意
都成立，数列的前n项和为
．
（1）若是等差数列，求k的值；
（2）若
，
，求；
（3）是否存在实数k，使数列是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项
，
，
按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】（题文）如图，长方形材料
中，已知
，
.点
为材料内部一点，
于
，
于
，且
，
. 现要在长方形材料中裁剪出四边形材料
，满足
，点
、
分别在边
，
上.
（1）设
，试将四边形材料的面积表示为
的函数，并指明的取值范围；
（2）试确定点在上的位置，使得四边形材料的面积
最小，并求出其最小值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图是一矩形滨河公园
，其中
长为
百米，
长为
百米，的中点
为便民服务中心.根据居民实际需求，现规划建造三条步行通道
、
及
，要求点
、
分别在公园边界
、上，且
.
（1）设
.①求步道总长度
关于
的函数解析式
；②求函数的定义域.
（2）为使建造成本最低，需步行通道总长最短，试求步行通道总长度的最小值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】函数
，其中
.
（1）求函数
的单调区间；
（2）已知当
（其中
是自然对数）时，在
上至少存在一点
，使
成立，求
的取值范围；
（3）求证：当
时，对任意
， 
，有
.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】2017年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速
分成六段： 
， 
， 
， 
， 
， 
后得到如图的频率分布直方图．
（1）调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？
（2）求这40辆小型车辆车速的众数、中位数及平均数的估计值；
（3）若从车速在
的车辆中任抽取2辆，求车速在的车辆至少有一辆的概率．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知
是不重合直线，
是不重合平面，则下列命题
①若
，则
∥
②若
∥
∥，则∥
③若∥、
∥，则∥
④若
，则
∥
⑤若
，则∥
为假命题的是
A. ①②③ B. ①②⑤ C. ③④⑤ D. ①②④
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【题目】如图，平面中两条直线
和
相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对
是点M的“距离坐标”.下列四个命题中正确命题为( )
A.若
，则“距离坐标”为
的点有且仅有1个
B.若
，且
，则“距离坐标”为的点有且仅有2个
C.若
，则“距离坐标”为的点有且仅有4个
D.若
，则点M在一条过点O的直线上
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