Question

锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA=

2 2

3

，
（Ⅰ）求cosA的值并由此求tan2

A

2

+sin2

A

2

的值；
（Ⅱ）若a=6，S_△ABC=9

2

，求证：△ABC为等腰三角形．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据角A为锐角，由sinA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，然后利用同角三角函数间的基本关系化简后提取sin²

A

2

，利用二倍角的余弦函数公式化为关于cosA的式子，将求出的cosA的值代入即可求出值；
（Ⅱ）由三角形的面积公式表示出S_△ABC，让其值等于已知值，把sinA的值代入求出bc的值，利用余弦定理表示出a²，将a与cosA的值代入求出b与c的平方和，利用差的完全平方公式化简（b-c）²，将求出的b与c的平方和与bc的值代入即可求出值为0，进而得到b与c相等，故△ABC为等腰三角形．

解答：解：（Ⅰ）因为锐角△ABC中，A+B+C=π，sinA=

2 2

3

，所以cosA=

1

3

，（2分）
则tan2

A

2

+sin2

A

2

=sin2

A

2

(

1

cos2 A 2

+1)=

1-cosA

2

(

2

1+cosA

+1)
=

1- 1 3

2

(

2

1+ 1 3

+1)=

5

6

；（6分）
（Ⅱ）∵S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

bc•

2 2

3

=9

2

，则bc=27．（8分）
又a=6，cosA=

1

3

，由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA得：b²+c²=54，
所以（b-c）²=b²+c²-2bc=54-2×27=0，即b=c，
所以△ABC为等腰三角形．（12分）

点评：此题综合考查了同角三角函数间的基本关系，二倍角的余弦函数公式，余弦定理及三角形的面积公式．本题确定三角形形状的技巧性比较强，方法是：先利用三角形的面积公式求出bc的值，然后利用余弦定理求出b与c的平方和，借助差的完全平方公式得到b=c，从而得到三角形为等腰三角形．