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锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinA=
2
2
3

(Ⅰ)求cosA的值并由此求tan2
A
2
+sin2
A
2
的值;
(Ⅱ)若a=6,S△ABC=9
2
,求证:△ABC为等腰三角形.
分析:(Ⅰ)根据角A为锐角,由sinA的值,利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值,然后利用同角三角函数间的基本关系化简后提取sin2
A
2
,利用二倍角的余弦函数公式化为关于cosA的式子,将求出的cosA的值代入即可求出值;
(Ⅱ)由三角形的面积公式表示出S△ABC,让其值等于已知值,把sinA的值代入求出bc的值,利用余弦定理表示出a2,将a与cosA的值代入求出b与c的平方和,利用差的完全平方公式化简(b-c)2,将求出的b与c的平方和与bc的值代入即可求出值为0,进而得到b与c相等,故△ABC为等腰三角形.
解答:解:(Ⅰ)因为锐角△ABC中,A+B+C=π,sinA=
2
2
3
,所以cosA=
1
3
,(2分)
tan2
A
2
+sin2
A
2
=sin2
A
2
(
1
cos2
A
2
+1)=
1-cosA
2
(
2
1+cosA
+1)

=
1-
1
3
2
(
2
1+
1
3
+1)=
5
6
;(6分)
(Ⅱ)∵S△ABC=
1
2
bcsinA=
1
2
bc•
2
2
3
=9
2
,则bc=27.(8分)
又a=6,cosA=
1
3
,由余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA得:b2+c2=54,
所以(b-c)2=b2+c2-2bc=54-2×27=0,即b=c,
所以△ABC为等腰三角形.(12分)
点评:此题综合考查了同角三角函数间的基本关系,二倍角的余弦函数公式,余弦定理及三角形的面积公式.本题确定三角形形状的技巧性比较强,方法是:先利用三角形的面积公式求出bc的值,然后利用余弦定理求出b与c的平方和,借助差的完全平方公式得到b=c,从而得到三角形为等腰三角形.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

锐角△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,C=2A,
c
a
的取值范围是(  )
A、(1,2)
B、(1,
3
C、(
2
,2)
D、(
2
3

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2010•江苏)在锐角△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若
a
b
+
b
a
=6cosC,则
tanC
tanA
+
tanC
tanB
的值是
4
4

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知锐角△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,且tanB=
3
ac
a2+c2-b2
求∠B.

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科目:高中数学 来源: 题型:

在锐角△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且满足4a2cosB-2accosB=a2+b2-c2
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)设
m
=(sin2A,-cosC),
n
=(-
3
,1),
m
n
的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
m
=(
3
sin
x
4
,1),
n
=(cos
x
4
1+cos
x
2
2

(1)若
m
n
=1,求cos(
π
3
+x)的值;
(2)记f(x)=
m
n
,在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC,求函数f(A)的取值范围.

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