Question

如图，已知三棱锥S-ABC中，底面△ABC是边长为2的正三角形，SC=1，∠SCA=90°，侧面SAC与底面ABC所成二面角为60°，E、D分别为SA和AC的中点．
（1）求点S到平面BDE的距离；
（2）求三棱锥S-ABC的体积．

Answer 1

分析：（1）确定点S到平面BDE的距离等于点C到平面BDE的距离，利用等面积，即可求解；
（2）利用三棱锥的体积公式，即可求出结论．

解答：解：（1）∵E、D分别为SA和AC的中点，
∴ED∥SC
∵∠SCA=90°，
∴ED∥AC，
∴点S到平面BDE的距离等于点C到平面BDE的距离，设为h，
∵底面△ABC是边长为2的正三角形
∴BD⊥AC
∵侧面SAC与底面ABC所成二面角为60°
∴∠BDE=60°
∵底面△ABC是边长为2的正三角形，SC=1，
∴S△BDE=

1

2

•

1

2

•

3

•

3

2

=

3

8

∵E到平面DBC的距离为

3

4

，S_△BDC=

3

2

∴由等体积可得

1

3

•

3

2

•

3

4

=

1

3

•

3

8

h
∴h=1；
（2）∵E到平面DBC的距离为

3

4

，∴S到平面DBC的距离为

3

2

，
∵S△ABC=

3

∴三棱锥S-ABC的体积为

1

3

•

3

•

3

2

=

1

2

．

点评：本题考查点面距离的计算，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．