Question

（2013•保定一模）设F₁、F₂分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，M，N分别为其短釉的两个端点，且四边形MF₁NF₂的周长为4设过F₁的直线l与E相交于A，B两点，且|AB|=

4

3

．
（1）求|AF₂|•|BF₂|的最大值；
（2）若直线l的倾斜角为45°，求△ABF₂的面积．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的定义，结合四边形的周长，及|AB|的长，利用基本不等式，即可求|AF₂|•|BF₂|的最大值；
（2）设出直线l的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及|AB|的长，求出直线方程，即可求△ABF₂的面积．

解答：解：（1）∵四边形MF₁NF₂为菱形，周长为4，∴a=1
由椭圆的定义可知|AF₂|+|AB|+|BF₂|=4a=4，
∵|AB|=

4

3

，∴|AF₂|+|BF₂|=

8

3

∴|AF₂|•|BF₂|≤(

|AF2|+|BF2|

2

)2=

16

9

当且仅当|AF₂|=|BF₂|=

4

3

时，等号成立，即|AF₂|•|BF₂|的最大值为

16

9

；
（2）∵直线l的倾斜角为45°，∴可设l的方程为y=x+c，其中c=

1-b2

由（1）知椭圆E的方程为x2+

y2

b2

=1
直线方程代入椭圆方程，化简可得（1+b²）x²+2cx+1-2b²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

-2c

1+b2

，x₁x₂=

1-2b2

1+b2

∵|AB|=

2

|x₁-x₂|=

4

3

∴

8

9

=(

-2c

1+b2

)2-4×

1-2b2

1+b2

∴b2=

1

2

∴c=

2

2

∴l的方程为y=x+

2

2

∴F₂到l的距离d=1
∴S△ABF2=

1

2

|AB|×1=

1

2

×

4

3

×1=

2

3

点评：本题考查椭圆的定义，考查基本不等式的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．