Question

8．已知a＞0，设命题p：函数y=a^x在R上单调递增；命题q：不等式ax²+ax+1＞0对?x∈R恒成立，若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．

Answer 1

分析 先解命题，再研究命题的关系，函数y=a^x在R上单调递增，由指数函数的单调性解决；等式ax²+ax+1＞0对?x∈R恒成立，用函数思想，又因为是对全体实数成立，可用判断式法解决，若p且q为假，p或q为真，两者是一真一假，计算可得答案．

解答 解：∵y=a^x在R上单调递增，
∴a＞1；
又a＞0，不等式ax²+ax+1＞0对?x∈R恒成立，
∴△＜0，即a²-4a＜0，∴0＜a＜4，
∴q：0＜a＜4．
而命题p且q为假，p或q为真，那么p、q中有且只有一个为真，一个为假．
①若p真，q假，则a≥4；
②若p假，q真，则0＜a≤1．
所以a的取值范围为（0，1]∪[4，+∞）．

点评 本题通过逻辑关系来考查了函数单调性和不等式恒成立问题，这样考查使题目变得丰富多彩，考查面比较广．