解:(1)椭圆的标准方程为
(4分)
(2)设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),
得:(3+4k
2)x2+8kmx+4(m
2-3)=0,
∵△>0,∴3+4k
2-m
2>0,
∴
(6分)
∵以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,∴k
AD•k
BD=-1,
∴y
1y
2+x
1x
2-2(x
1+x
2)+4=0,∴7m
2+16mk+4k
2=0,
∴m
1=-2k,
k,且均满足3+4k
2-m
2>0,(9分)
当m
1=-2k时,l的方程为y=k(x-2),则直线过定点(2,0)与已知矛盾
当
时,l的方程为
,则直线过定点
∴直线l过定点,定点坐标为
(12分)
分析:(1)根据椭圆的方程和简单几何性质,使用待定系数法即可;
(2)要证明直线系y=kx+m过定点,就要找到其中的参数k,m之间的关系,把双参数化为但参数问题解决,这只要根据直线l:y=kx+m与椭圆C相交A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点即可,这个问题等价于椭圆的右顶点与A,B的张角是直角.
点评:本题考查圆锥曲线与方程.直线系过定点时,必需是直线系中的参数为但参数,对于含有双参数的直线系,就要找到两个参数之间的关系把直线系方程化为单参数的方程,然后把x,y当作参数的系数把这个方程进行整理,使这个方程关于参数无关的成立的条件就是一个关于x,y的方程组,以这个方程的解为坐标的点就是直线系过的定点.