Question

如图所示，四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，CD⊥面SAD．且

1

2

CD=SA=AD=SD=AB=1．
（1）当H为SD中点时，求证：AH∥平面SBC；平面SBC⊥平面SCD．
（2）求点D到平面SBC的距离．

Answer 1

（1）取SC中点G，连接HG、BG．
∵H为SD的中点，∴HG

∥ .

.

1

2

CD，又AB

∥ .

.

1

2

CD．（1分）
∴AB

∥ .

.

HG．故知四边形ABGH为平行四边形．∴AH∥BG，∴AH∥面SBC．（2分）
∵CD⊥面SAD，且CD?面SCD．
∴面SCD⊥面SAD，且交线为SD．（4分）
∵SA=AD=SD且SH=HD，∴AH⊥SD．
∴AH⊥面SCD，又AH∥BG，∴BG⊥面SCD，（6分）
又BG?面SBC．∴面SBC⊥面SCD．（7分）
（2）连接BD，设D到平面SBC的距离为h，则VD-SBC=

1

3

S△SBC•h，（9分）
又V_D-SBC=V_B-SDC，∴

1

3

S△SBC•h=

1

3

S△SCD•BG．
∴BG=AH=

3

2

，S△SBC=

1

2

SC•BG=

15

4

．（11分）
∵S△SCD=

1

2

CD•SD=1，∴h=

2 5

5

．（13分）