Question

已知双曲线的左右焦点分别为F₁，F₂，左准线为l，能否在双曲线的左支上求一点P，使|PF₁|是P到l的距离d与|PF₂|的等比中项？若能，求出P的坐标，若不能，说明理由．

Answer 1

解：由题意得：a=5，b=12，c=13，F₁（-13，0），F₂（13，0），左准线为l：x=-，
设点P（x，y），|PF₁|²=d•|PF₂|，又=e==，∴|PF₁|=•|PF₂|，
又|PF₂|-|PF₁|=10，∴|PF₁|=，|PF₂|=，
∵双曲线左支上任意一点到F₁（-13，0）的距离最小为-5-（-13）=8＞，
故双曲线左支上不存在点P，使|PF₁|是P到l的距离d与|PF₂|的等比中项．
分析：先求出焦点的坐标，利用题中条件、双曲线的第一定义、第二定义，求出|PF₁|=，进而分析出双曲线左支上任意一点到F₁的距离最小为-5-（-13）=8＞，故点P不存在．
点评：本题是个开放型的题目，考查双曲线的第一、第二定义，及双曲线的性质．