Question

（2008•宁波模拟）曲线C是中心在原点，焦点为F(

5

，0)的双曲线的右支，已知它的一条渐近线方程是y=

1

2

x．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知点E（2，0），若直线l与曲线C交于不同于点E的P，R两点，且

EP

•

ER

=0，求证：直线l过一个定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

分析：（1）可设曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(x≥a，a＞0，b＞0)，由题意可得，a=2b，a²+b²=5，从而可求a，b，进而可求曲线C的方程
（2）设P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，由

y=kx+m x2 4 -y2=1

，，由方程的根与系数关系及

EP

•

ER

=0=（x₁-2）（x₂-2）+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，代入可求得k，m之间的关系则直线l由直线方程的点斜式可求直线所过的定点；当直线l的斜率不存在时，x₁=x₂，y₁=-y₂，，由

EP

•

ER

=0，代入可求

解答：解：（1）设曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(x≥a，a＞0，b＞0)
∵一条渐近线方程是y=

1

2

x，c=

5

∴a=2b，a²+b²=c²=5
∴a=2，b=1
故所求曲线C的方程是

x2

4

-y2=1(x≥2)…（5分）
（2）设P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），
①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m
由

y=kx+m x2 4 -y2=1

，
此时1-4k²≠0
∴

x1+x2= 8km 1-4k2 ＞0 x1•x2= -4m2-4 1-4k2 ＞0

…（7分）
由

EP

•

ER

=0⇒(x1-2)(x2-2)+y1y2
=（x₁-2）（x₂-2）+（kx₁+m）（kx₂+m）=0
∴（1+k²）x₁x₂+（km-2）（x₁+x₂）+m²+4=0
（1+k²）•

-4m2-4

1-4k2

+（km-2）•

8km

1-4k2

+m²+4=0
整理有3m2+16km+20k2=0⇒m=-

10k

3

，或m=-2k…（10分）
当m=-2k时，直线L过点E，不合题意
当m=-

10k

3

，则直线l的方程为y=kx-

10k

3

=k(x-

10

3

)
则直线l过定点（

10

3

，0）…（12分）
②当直线l的斜率不存在时，x₁=x₂，y₁=-y₂，
由

EP

•

ER

=0，
有x12-4x1+4-

y

2 1

=0，又

x 2 1

4

-

y

2 1

=1
从而有x1=x2=

10

3

．此时直线L过点(

10

3

，0)
故直线l过定点(

10

3

，0)…（15分）

点评：本题主要考查了由双曲线的性质求解双曲线的方程，直线与双曲线的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，向量的坐标表示的应用，属于直线与曲线位置关系的综合应用，属于综合性试题．