Question

7．设函数f（x）=ax²+$\frac{2}{x}$（a∈R）
（1）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；
（2）若f（1）=3，判断函数f（x）在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义法证明．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数的定义，f（-x）=-f（x），从而可以得出ax²=0，从而得到a=0；
（2）由f（1）=3便可得到a=1，从而f（x）=${x}^{2}+\frac{2}{x}$，可以看出x≥1时，x²的增大速度大于$\frac{2}{x}$的减小速度，从而可判断出f（x）在[1，+∞）上为增函数，根据增函数的定义，设任意的x₁＞x₂≥1，然后作差，通分，提取公因式x₁-x₂，从而证明f（x₁）＞f（x₂）便可得出f（x）在[1，+∞）上为增函数．

解答 解：（1）∵函数f（x）为奇函数；
∴f（-x）=-f（x）；
即$a{x}^{2}-\frac{2}{x}=-（a{x}^{2}+\frac{2}{x}）$；
∴2ax²=0；
∴a=0；
（2）f（1）=3，∴a+2=3，a=1；
∴$f（x）={x}^{2}+\frac{2}{x}$，x≥1时，$0＜\frac{2}{x}≤2$，x增大时，x²的增大速度大于$\frac{2}{x}$的减小速度，从而f（x）增大，∴f（x）在[1，+∞）上为增函数，证明如下：
设x₁＞x₂≥1，则：$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={{x}_{1}}^{2}+\frac{2}{{x}_{1}}-{{x}_{2}}^{2}-\frac{2}{{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}-\frac{2}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x₁＞x₂≥1；
∴x₁+x₂＞2，$\frac{2}{{x}_{1}{x}_{2}}＜2$；
∴${x}_{1}+{x}_{2}-\frac{2}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$，且x₁-x₂＞0；
∴$（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}-\frac{2}{{x}_{1}{x}_{2}}）＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在[1，+∞）上为增函数．

点评 考查奇函数的定义，增函数的定义，以及根据增函数的定义判断和证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分，一般要提取公因式x₁-x₂．