Question

已知函数f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx-1（x∈R）
（1）求函数f（x）的周期及单调递减区间；
（2）若|x|≤

π

4

，求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先把函数f（x）变换成：f（x）=2sin(2x+

π

6

)，利用公式求出函数的最小正周期，利用整体思想求出函数的单调区间．
（2）先由|x|≤

π

4

，进一步确定-

π

3

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，最后确定函数的值域．

解答： 解：（1）函数f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx-1=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)，
则：T=

2π

2

=π，
令

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），
解得：kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

 （k∈Z），
函数的单调递减区间为：x∈[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）
（2）由（1）得：f（x）=2sin(2x+

π

6

)
由于|x|≤

π

4

进一步求出：-

π

3

≤2x+

π

6

≤

2π

3

所以-

3

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1
-

3

≤f(x)≤2
故答案为：（1）T=π  函数的单调递减区间为：x∈[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）
（2）-

3

≤f(x)≤2

点评：本题考查的知识点：三角函数式的恒等变换，正弦型函数的最小正周期及单调区间的求法，根据函数的定义域确定函数的值域．