Question

已知函数y=f（x）是定义在区间[-

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，

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]上的偶函数，且x∈[0，

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]时，f（x）=-x²-x+5．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若矩形ABCD的顶点A，B在函数y=f（x）的图象上，顶点C，D在x轴上，求矩形ABCD面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）欲求函数f（x）的解析式，只须求出函数f（x）在x∈[-

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，0]时的解析式即可，利用函数的偶函数性质即可由y轴右侧的表达式求出在y轴左侧的表达式．最后利用分段函数写出解析式即可．
（2）设A点在第一象限，坐标为A（t，-t²-t+5），利用对称性求出B点坐标，进而求出矩形ABCD面积，最后利用导数求出此面积表达式的最大值即可．

解答：解（1）当x∈[-

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，0]时，-x∈[0，

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]．
∴f（-x）=-（-x）²-（-x）+5=-x²+x+5．又∵f（x）是偶函数，
∴f（x）=f（-x）=-x²+x+5．
∴f（x）=

-x2+x+5 x∈[- 3 2 ，0] -x2-x+5 x∈(0 3 2 ].

（2）由题意，不妨设A点在第一象限，
坐标为（t，-t²-t+5），其中t∈（0，

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]．
由图象对称性可知B点坐标为（-t，-t²-t+5）．
则S（t）=S_矩形ABCD=2t（-t²-t+5）=-2t³-2t²+10t．
s′（t）=-6t²-4t+10．由s′（t）=0，得t₁=-

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（舍去），t₂=1．
当0＜t＜1时，s′（t）＞0；t＞1时，s′（t）＜0．
∴S（t）在（0，1]上单调递增，在[1，

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]上单调递减．
∴当t=1时，矩形ABCD的面积取得极大值6，
且此极大值也是S（t）在t∈（0，

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]上的最大值．
从而当t=1时，矩形ABCD的面积取得最大值6．

点评：本题主要考查了分段函数、函数的最值及其几何意义及利用导数研究函数的极值，属于中档题．